Selesaikan (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Tambahkan 81 dan 162 untuk dapatkan 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Gabungkan -90x dan -180x untuk mendapatkan -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Gabungkan 25x^{2} dan 50x^{2} untuk mendapatkan 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Tolak 24 daripada 243 untuk mendapatkan 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 75 untuk a, -270 untuk b dan 219 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Untuk hasil itu menjadi negatif, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} dan x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} perlulah mempunyai tanda yang bertentangan. Pertimbangkan kes apabila x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} adalah positif dan x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} adalah negatif.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} adalah positif dan x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} adalah negatif.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$