Selesaikan (7m-1)^2-100=0

$$( 7 m - 1 ) ^ { 2 } - 100 = 0$$

Selesaikan untuk m

$$m = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$m = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(7m-1\right)^{2}.

$$49m^{2}-14m+1-100=0$$

Tolak 100 daripada 1 untuk mendapatkan -99.

$$49m^{2}-14m-99=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 49m^{2}+am+bm-99. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-14 ab=49\left(-99\right)=-4851$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -4851.

$$1,-4851 3,-1617 7,-693 9,-539 11,-441 21,-231 33,-147 49,-99 63,-77$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-4851=-4850 3-1617=-1614 7-693=-686 9-539=-530 11-441=-430 21-231=-210 33-147=-114 49-99=-50 63-77=-14$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -14.

$$a=-77 b=63$$

Tulis semula 49m^{2}-14m-99 sebagai \left(49m^{2}-77m\right)+\left(63m-99\right).

$$\left(49m^{2}-77m\right)+\left(63m-99\right)$$

Faktorkan 7m dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$7m\left(7m-11\right)+9\left(7m-11\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 7m-11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(7m-11\right)\left(7m+9\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 7m-11=0 dan 7m+9=0.

$$m=\frac{11}{7} m=-\frac{9}{7}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(7m-1\right)^{2}.

$$49m^{2}-14m+1-100=0$$

Tolak 100 daripada 1 untuk mendapatkan -99.

$$49m^{2}-14m-99=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 49 dengan a, -14 dengan b dan -99 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 49\left(-99\right)}}{2\times 49}$$

Kuasa dua -14.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 49\left(-99\right)}}{2\times 49}$$

Darabkan -4 kali 49.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-196\left(-99\right)}}{2\times 49}$$

Darabkan -196 kali -99.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+19404}}{2\times 49}$$

Tambahkan 196 pada 19404.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{19600}}{2\times 49}$$

Ambil punca kuasa dua 19600.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±140}{2\times 49}$$

Nombor bertentangan -14 ialah 14.

$$m=\frac{14±140}{2\times 49}$$

Darabkan 2 kali 49.

$$m=\frac{14±140}{98}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{14±140}{98} apabila ± ialah plus. Tambahkan 14 pada 140.

$$m=\frac{154}{98}$$

Kurangkan pecahan \frac{154}{98} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 14.

$$m=\frac{11}{7}$$

Sekarang selesaikan persamaan m=\frac{14±140}{98} apabila ± ialah minus. Tolak 140 daripada 14.

$$m=-\frac{126}{98}$$

Kurangkan pecahan \frac{-126}{98} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 14.

$$m=-\frac{9}{7}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$m=\frac{11}{7} m=-\frac{9}{7}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(7m-1\right)^{2}.

$$49m^{2}-14m+1-100=0$$

Tolak 100 daripada 1 untuk mendapatkan -99.

$$49m^{2}-14m-99=0$$

Tambahkan 99 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$49m^{2}-14m=99$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 49.

$$\frac{49m^{2}-14m}{49}=\frac{99}{49}$$

Membahagi dengan 49 membuat asal pendaraban dengan 49.

$$m^{2}+\left(-\frac{14}{49}\right)m=\frac{99}{49}$$

Kurangkan pecahan \frac{-14}{49} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 7.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m=\frac{99}{49}$$

Bahagikan -\frac{2}{7} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{7}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{7} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{99}{49}+\left(-\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{7} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m+\frac{1}{49}=\frac{99+1}{49}$$

Tambahkan \frac{99}{49} pada \frac{1}{49} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m^{2}-\frac{2}{7}m+\frac{1}{49}=\frac{100}{49}$$

Faktor m^{2}-\frac{2}{7}m+\frac{1}{49}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{100}{49}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(m-\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{49}}$$

Permudahkan.

$$m-\frac{1}{7}=\frac{10}{7} m-\frac{1}{7}=-\frac{10}{7}$$

Tambahkan \frac{1}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$m=\frac{11}{7} m=-\frac{9}{7}$$