Selesaikan (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Selesaikan untuk x

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Tolak 16 daripada 49 untuk mendapatkan 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 25x^{2}+ax+bx+33. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 70.

$$a=15 b=55$$

Tulis semula 25x^{2}+70x+33 sebagai \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Faktorkan 5x dalam kumpulan pertama dan 11 dalam kumpulan kedua.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 5x+3 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 5x+3=0 dan 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Tolak 16 daripada 49 untuk mendapatkan 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 25 dengan a, 70 dengan b dan 33 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Kuasa dua 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Darabkan -4 kali 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Darabkan -100 kali 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Tambahkan 4900 pada -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Ambil punca kuasa dua 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Darabkan 2 kali 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-70±40}{50} apabila ± ialah plus. Tambahkan -70 pada 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Kurangkan pecahan \frac{-30}{50} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-70±40}{50} apabila ± ialah minus. Tolak 40 daripada -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Kurangkan pecahan \frac{-110}{50} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Tolak 49 daripada kedua-dua belah.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Tolak 49 daripada 16 untuk mendapatkan -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Membahagi dengan 25 membuat asal pendaraban dengan 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Kurangkan pecahan \frac{70}{25} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Bahagikan \frac{14}{5} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{7}{5}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{7}{5} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{7}{5} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Tambahkan -\frac{33}{25} pada \frac{49}{25} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Tolak \frac{7}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$