Selesaikan (4x-3)^2=64

$$( 4 x - 3 ) ^ { 2 } = 64$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Tolak 64 daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Tolak 64 daripada 9 untuk mendapatkan -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 16x^{2}+ax+bx-55. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-24 ab=16\left(-55\right)=-880$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -880.

$$1,-880 2,-440 4,-220 5,-176 8,-110 10,-88 11,-80 16,-55 20,-44 22,-40$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-880=-879 2-440=-438 4-220=-216 5-176=-171 8-110=-102 10-88=-78 11-80=-69 16-55=-39 20-44=-24 22-40=-18$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -24.

$$a=-44 b=20$$

Tulis semula 16x^{2}-24x-55 sebagai \left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right).

$$\left(16x^{2}-44x\right)+\left(20x-55\right)$$

Faktorkan 4x dalam kumpulan pertama dan 5 dalam kumpulan kedua.

$$4x\left(4x-11\right)+5\left(4x-11\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 4x-11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(4x-11\right)\left(4x+5\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 4x-11=0 dan 4x+5=0.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Tolak 64 daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}-24x+9-64=0$$

Tolak 64 daripada 9 untuk mendapatkan -55.

$$16x^{2}-24x-55=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 16 dengan a, -24 dengan b dan -55 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Kuasa dua -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Darabkan -4 kali 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\left(-55\right)}}{2\times 16}$$

Darabkan -64 kali -55.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+3520}}{2\times 16}$$

Tambahkan 576 pada 3520.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{4096}}{2\times 16}$$

Ambil punca kuasa dua 4096.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±64}{2\times 16}$$

Nombor bertentangan -24 ialah 24.

$$x=\frac{24±64}{2\times 16}$$

Darabkan 2 kali 16.

$$x=\frac{24±64}{32}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{24±64}{32} apabila ± ialah plus. Tambahkan 24 pada 64.

$$x=\frac{88}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{88}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=\frac{11}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{24±64}{32} apabila ± ialah minus. Tolak 64 daripada 24.

$$x=-\frac{40}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{-40}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4x-3\right)^{2}.

$$16x^{2}-24x+9=64$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}-24x=64-9$$

Tolak 9 daripada 64 untuk mendapatkan 55.

$$16x^{2}-24x=55$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=\frac{55}{16}$$

Membahagi dengan 16 membuat asal pendaraban dengan 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=\frac{55}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{-24}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{55}{16}$$

Bahagikan -\frac{3}{2} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{3}{4}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{55}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{3}{4} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{55+9}{16}$$

Tambahkan \frac{55}{16} pada \frac{9}{16} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=4$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=4$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{3}{4}=2 x-\frac{3}{4}=-2$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{11}{4} x=-\frac{5}{4}$$