Selesaikan (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Selesaikan untuk x

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1.375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Gabungkan 48x dan -2x untuk mendapatkan 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Tolak 3 daripada 36 untuk mendapatkan 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 16x^{2}+ax+bx+33. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 528.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 46.

$$a=22 b=24$$

Tulis semula 16x^{2}+46x+33 sebagai \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right).

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Faktorkan 2x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 8x+11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 8x+11=0 dan 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Gabungkan 48x dan -2x untuk mendapatkan 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Tolak 3 daripada 36 untuk mendapatkan 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 16 dengan a, 46 dengan b dan 33 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Kuasa dua 46.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Darabkan -4 kali 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Darabkan -64 kali 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Tambahkan 2116 pada -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Ambil punca kuasa dua 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Darabkan 2 kali 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-46±2}{32} apabila ± ialah plus. Tambahkan -46 pada 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{-44}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-46±2}{32} apabila ± ialah minus. Tolak 2 daripada -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Kurangkan pecahan \frac{-48}{32} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 16.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Gabungkan 48x dan -2x untuk mendapatkan 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Tolak 36 daripada 3 untuk mendapatkan -33.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

Membahagi dengan 16 membuat asal pendaraban dengan 16.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Kurangkan pecahan \frac{46}{16} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Bahagikan \frac{23}{8} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{23}{16}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{23}{16} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{23}{16} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Tambahkan -\frac{33}{16} pada \frac{529}{256} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

Tolak \frac{23}{16} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$