Selesaikan (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Selesaikan untuk x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Darabkan 16 dan 3 untuk mendapatkan 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 2 dalam 8 dan 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Untuk meningkatkan \frac{x\sqrt{3}}{2} kepada kuasa, tingkatkan kedua-dua pengangka dan penyebut kepada kuasa dan kemudian bahagi.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Untuk menambah atau menolak ungkapan, kembangkannya untuk membuat penyebut mereka sama. Darabkan 48 kali \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Oleh kerana \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} dan \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} mempunyai penyebut yang sama, tambahkan dengan menambahkan pengangka.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Darabkan 48 dan 4 untuk mendapatkan 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kembangkan \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Nyatakan 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} sebagai pecahan tunggal.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Batalkan 4 dan 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Darabkan 16 dan 3 untuk mendapatkan 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Gabungkan x^{2}\times 3 dan x^{2} untuk mendapatkan 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Tolak 624 daripada kedua-dua belah.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Tolak 624 daripada 192 untuk mendapatkan -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-108. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 12.

$$a=-6 b=18$$

Tulis semula x^{2}+12x-108 sebagai \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 18 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-6 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-6=0 dan x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Darabkan 16 dan 3 untuk mendapatkan 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 2 dalam 8 dan 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Untuk meningkatkan \frac{x\sqrt{3}}{2} kepada kuasa, tingkatkan kedua-dua pengangka dan penyebut kepada kuasa dan kemudian bahagi.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Untuk menambah atau menolak ungkapan, kembangkannya untuk membuat penyebut mereka sama. Darabkan 48 kali \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Oleh kerana \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} dan \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} mempunyai penyebut yang sama, tambahkan dengan menambahkan pengangka.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Darabkan 48 dan 4 untuk mendapatkan 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kembangkan \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Nyatakan 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} sebagai pecahan tunggal.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Batalkan 4 dan 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Darabkan 16 dan 3 untuk mendapatkan 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Gabungkan x^{2}\times 3 dan x^{2} untuk mendapatkan 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Tolak 624 daripada kedua-dua belah.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Tolak 624 daripada 192 untuk mendapatkan -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 4 dengan a, 48 dengan b dan -432 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Kuasa dua 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -4 kali 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Darabkan -16 kali -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Tambahkan 2304 pada 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Ambil punca kuasa dua 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-48±96}{8} apabila ± ialah plus. Tambahkan -48 pada 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Bahagikan 48 dengan 8.

$$x=6$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-48±96}{8} apabila ± ialah minus. Tolak 96 daripada -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Bahagikan -144 dengan 8.

$$x=-18$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=6 x=-18$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Darabkan 16 dan 3 untuk mendapatkan 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 2 dalam 8 dan 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Untuk meningkatkan \frac{x\sqrt{3}}{2} kepada kuasa, tingkatkan kedua-dua pengangka dan penyebut kepada kuasa dan kemudian bahagi.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Untuk menambah atau menolak ungkapan, kembangkannya untuk membuat penyebut mereka sama. Darabkan 48 kali \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Oleh kerana \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} dan \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} mempunyai penyebut yang sama, tambahkan dengan menambahkan pengangka.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Darabkan 48 dan 4 untuk mendapatkan 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kembangkan \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Nyatakan 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} sebagai pecahan tunggal.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Batalkan 4 dan 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Darabkan 16 dan 3 untuk mendapatkan 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Gabungkan x^{2}\times 3 dan x^{2} untuk mendapatkan 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Tolak 192 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Tolak 192 daripada 624 untuk mendapatkan 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Bahagikan 48 dengan 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Bahagikan 432 dengan 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Bahagikan 12 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 6. Kemudian tambahkan kuasa dua 6 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Kuasa dua 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Tambahkan 108 pada 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Faktor x^{2}+12x+36. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Permudahkan.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=6 x=-18$$