Selesaikan (3x-1)^2-(2x+1)^2=7

$$( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 7$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx 2.549193338$$

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx -0.549193338$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3x-1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x^{2}+4x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Gabungkan 9x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Gabungkan -6x dan -4x untuk mendapatkan -10x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Tolak 1 daripada 1 untuk mendapatkan 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}-10x-7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, -10 dengan b dan -7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+140}}{2\times 5}$$

Tambahkan 100 pada 140.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{240}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 240.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Nombor bertentangan -10 ialah 10.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan 10 pada 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}+10}{10}$$

Bahagikan 10+4\sqrt{15} dengan 10.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 4\sqrt{15} daripada 10.

$$x=\frac{10-4\sqrt{15}}{10}$$

Bahagikan 10-4\sqrt{15} dengan 10.

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3x-1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 4x^{2}+4x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

Gabungkan 9x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

Gabungkan -6x dan -4x untuk mendapatkan -10x.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

Tolak 1 daripada 1 untuk mendapatkan 0.

$$5x^{2}-10x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{7}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{7}{5}$$

Bahagikan -10 dengan 5.

$$x^{2}-2x=\frac{7}{5}$$

Bahagikan -2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -1. Kemudian tambahkan kuasa dua -1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-2x+1=\frac{7}{5}+1$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{12}{5}$$

Faktor x^{2}-2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{12}{5}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{12}{5}}$$

Permudahkan.

$$x-1=\frac{2\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{2\sqrt{15}}{5}$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$