Selesaikan (3x+1)^2=9

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Tolak 9 daripada 1 untuk mendapatkan -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx-8. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 6.

$$a=-6 b=12$$

Tulis semula 9x^{2}+6x-8 sebagai \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 4 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-2=0 dan 3x+4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Tolak 9 daripada 1 untuk mendapatkan -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 9 dengan a, 6 dengan b dan -8 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Kuasa dua 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -4 kali 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Darabkan -36 kali -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

Tambahkan 36 pada 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

Ambil punca kuasa dua 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

Darabkan 2 kali 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±18}{18} apabila ± ialah plus. Tambahkan -6 pada 18.

$$x=\frac{12}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{12}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±18}{18} apabila ± ialah minus. Tolak 18 daripada -6.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Kurangkan pecahan \frac{-24}{18} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

Tolak 1 daripada 9 untuk mendapatkan 8.

$$9x^{2}+6x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

Membahagi dengan 9 membuat asal pendaraban dengan 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

Kurangkan pecahan \frac{6}{9} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

Bahagikan \frac{2}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

Tambahkan \frac{8}{9} pada \frac{1}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

Faktor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

Tolak \frac{1}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$