Selesaikan (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=8$$

$$x=15$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Kira 17 dikuasakan 2 dan dapatkan 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Tolak 289 daripada kedua-dua belah.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Tolak 289 daripada 529 untuk mendapatkan 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx+120. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -23.

$$a=-15 b=-8$$

Tulis semula x^{2}-23x+120 sebagai \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan -8 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-15 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-15=0 dan x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Kira 17 dikuasakan 2 dan dapatkan 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Tolak 289 daripada kedua-dua belah.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Tolak 289 daripada 529 untuk mendapatkan 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, -46 dengan b dan 240 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kuasa dua -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Tambahkan 2116 pada -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Nombor bertentangan -46 ialah 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{46±14}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan 46 pada 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Bahagikan 60 dengan 4.

$$x=15$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{46±14}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 14 daripada 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Bahagikan 32 dengan 4.

$$x=8$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=15 x=8$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Kira 17 dikuasakan 2 dan dapatkan 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Tolak 529 daripada kedua-dua belah.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Tolak 529 daripada 289 untuk mendapatkan -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Bahagikan -46 dengan 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Bahagikan -240 dengan 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Bahagikan -23 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{23}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{23}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{23}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Tambahkan -120 pada \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Tambahkan \frac{23}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=15 x=8$$