Selesaikan (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Faktor

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Langkah Penyelesaian

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Faktorkan ungkapan mengikut perkumpulan. Pertama sekali, ungkapan perlu ditulis semula sebagai -10x^{2}+ax+bx+22. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 51.

$$a=55 b=-4$$

Tulis semula -10x^{2}+51x+22 sebagai \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Faktorkan -5x dalam kumpulan pertama dan -2 dalam kumpulan kedua.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 2x-11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Kuasa dua 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Darabkan -4 kali -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Darabkan 40 kali 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Tambahkan 2601 pada 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Darabkan 2 kali -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-51±59}{-20} apabila ± ialah plus. Tambahkan -51 pada 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Kurangkan pecahan \frac{8}{-20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-51±59}{-20} apabila ± ialah minus. Tolak 59 daripada -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Kurangkan pecahan \frac{-110}{-20} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Faktorkan ungkapan asal menggunakan ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Gantikan -\frac{2}{5} dengan x_{1} dan \frac{11}{2} dengan x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Permudahkan semua ungkapan dalam bentuk p-\left(-q\right) kepada p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Tambahkan \frac{2}{5} pada x dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Tolak \frac{11}{2} daripada x dengan mencari penyebut sepunya dan menolak pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Darabkan \frac{-5x-2}{-5} dengan \frac{-2x+11}{-2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Darabkan -5 kali -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Batalkan faktor sepunya terbesar 10 dalam -10 dan 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Nilaikan

$$22+51x-10x^{2}$$