Selesaikan (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}+10x+25, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Gabungkan 4x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Gabungkan -12x dan -10x untuk mendapatkan -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Tolak 25 daripada 9 untuk mendapatkan -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Tambahkan -16 dan 23 untuk dapatkan 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx+7. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -22.

$$a=-21 b=-1$$

Tulis semula 3x^{2}-22x+7 sebagai \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan -1 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-7=0 dan 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}+10x+25, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Gabungkan 4x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Gabungkan -12x dan -10x untuk mendapatkan -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Tolak 25 daripada 9 untuk mendapatkan -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Tambahkan 23 pada kedua-dua belah.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Tambahkan -16 dan 23 untuk dapatkan 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 3 dengan a, -22 dengan b dan 7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Kuasa dua -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Darabkan -12 kali 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Tambahkan 484 pada -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Ambil punca kuasa dua 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Nombor bertentangan -22 ialah 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{22±20}{6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 22 pada 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Bahagikan 42 dengan 6.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{22±20}{6} apabila ± ialah minus. Tolak 20 daripada 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Kurangkan pecahan \frac{2}{6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}+10x+25, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Gabungkan 4x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Gabungkan -12x dan -10x untuk mendapatkan -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Tolak 25 daripada 9 untuk mendapatkan -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Tambahkan -23 dan 16 untuk dapatkan -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Membahagi dengan 3 membuat asal pendaraban dengan 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Bahagikan -\frac{22}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{11}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{11}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{11}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Tambahkan -\frac{7}{3} pada \frac{121}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Tambahkan \frac{11}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$