Selesaikan (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 9x^{2}-12x+4, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Gabungkan -9x^{2} dan -40x^{2} untuk mendapatkan -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Tambahkan 205 pada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Tambahkan -4 dan 205 untuk dapatkan 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5x dengan 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -35x+15x^{2} dengan 7+3x dan gabungkan sebutan yang serupa.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Gabungkan 16x dan -245x untuk mendapatkan -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Gabungkan 4x^{2} dan -49x^{2} untuk mendapatkan -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Gabungkan -229x dan 12x untuk mendapatkan -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Tambahkan 16 dan 201 untuk dapatkan 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Susun semula persamaan untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan sebutan mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 217 dan q membahagikan pekali pelopor 45. Senaraikan semua calon \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Cari satu akar tersebut dengan mencuba semua nilai integer, bermula daripadayang terkecil mengikut nilai mutlak. Sekiranya tiada akar integer ditemui, cuba pecahan.

$$x=1$$

Dengan teorem Faktor, x-k merupakan faktor polinomial bagi setiap punca k. Bahagikan 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 dengan x-1 untuk mendapatkan 45x^{2}-217. Selesaikan persamaan di mana hasil bersamaan dengan 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 45 untuk a, 0 untuk b dan -217 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Selesaikan persamaan 45x^{2}-217=0 apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Senaraikan semua penyelesaian yang ditemui.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$