Selesaikan (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=-9$$

$$x=7$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Kira 15 dikuasakan 2 dan dapatkan 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Tolak 225 daripada 9 untuk mendapatkan -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Kira 10 dikuasakan 2 dan dapatkan 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}-2x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Tolak 1 daripada 100 untuk mendapatkan 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Tolak 99 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Tolak 99 daripada -216 untuk mendapatkan -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Tambahkan x^{2} pada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Gabungkan 4x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Gabungkan 12x dan -2x untuk mendapatkan 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x^{2}+2x-63=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-63. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 2.

$$a=-7 b=9$$

Tulis semula x^{2}+2x-63 sebagai \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 9 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-7 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-7=0 dan x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Kira 15 dikuasakan 2 dan dapatkan 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Tolak 225 daripada 9 untuk mendapatkan -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Kira 10 dikuasakan 2 dan dapatkan 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}-2x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Tolak 1 daripada 100 untuk mendapatkan 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Tolak 99 daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Tolak 99 daripada -216 untuk mendapatkan -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Tambahkan x^{2} pada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Gabungkan 4x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Gabungkan 12x dan -2x untuk mendapatkan 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 5 dengan a, 10 dengan b dan -315 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Kuasa dua 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -4 kali 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Darabkan -20 kali -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Tambahkan 100 pada 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Ambil punca kuasa dua 6400.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Darabkan 2 kali 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±80}{10} apabila ± ialah plus. Tambahkan -10 pada 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Bahagikan 70 dengan 10.

$$x=7$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-10±80}{10} apabila ± ialah minus. Tolak 80 daripada -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Bahagikan -90 dengan 10.

$$x=-9$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=7 x=-9$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Kira 15 dikuasakan 2 dan dapatkan 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Tolak 225 daripada 9 untuk mendapatkan -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Kira 10 dikuasakan 2 dan dapatkan 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan x^{2}-2x+1, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Tolak 1 daripada 100 untuk mendapatkan 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Tambahkan x^{2} pada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

Gabungkan 4x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

Gabungkan 12x dan -2x untuk mendapatkan 10x.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Tambahkan 216 pada kedua-dua belah.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

Tambahkan 99 dan 216 untuk dapatkan 315.

$$5x^{2}+10x=315$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

Membahagi dengan 5 membuat asal pendaraban dengan 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Bahagikan 10 dengan 5.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Bahagikan 315 dengan 5.

$$x^{2}+2x=63$$

Bahagikan 2 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 1. Kemudian tambahkan kuasa dua 1 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

Kuasa dua 1.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Tambahkan 63 pada 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Faktor x^{2}+2x+1. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Permudahkan.

$$x+1=8 x+1=-8$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7 x=-9$$