Selesaikan (2+sqrt{3})^2-frac{sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{3}-sqrt{2}}

$$( 2 + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } }$$

Nilaikan

$$4\sqrt{3}+2-2\sqrt{6}\approx 4.029223745$$

Langkah Penyelesaian

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

Tambahkan 4 dan 3 untuk dapatkan 7.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$$

Nisbahkan penyebut \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{3}+\sqrt{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}$$

Pertimbangkan \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Kuasa dua \sqrt{3}. Kuasa dua \sqrt{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{3-2}$$

Tolak 2 daripada 3 untuk mendapatkan 1.

$$7+4\sqrt{3}-\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{1}$$

Apa-apa sahaja yang dibahagikan dengan satu menjadi nombor tersebut.

$$7+4\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$$

Darabkan \sqrt{3}+\sqrt{2} dan \sqrt{3}+\sqrt{2} untuk mendapatkan \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Untuk mendarab \sqrt{3} dan \sqrt{2}, darabkan nombor di bawah punca kuasa dua.

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$7+4\sqrt{3}-\left(3+2\sqrt{6}+2\right)$$

Tambahkan 3 dan 2 untuk dapatkan 5.

$$7+4\sqrt{3}-\left(5+2\sqrt{6}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 5+2\sqrt{6}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$7+4\sqrt{3}-5-2\sqrt{6}$$

Tolak 5 daripada 7 untuk mendapatkan 2.

$$2+4\sqrt{3}-2\sqrt{6}$$