Selesaikan (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33.333333333$$

$$x=-100$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Kira 100 dikuasakan 2 dan dapatkan 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Tambahkan 10000 dan 10000 untuk dapatkan 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Tolak 4x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Gabungkan x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Tolak 400x daripada kedua-dua belah.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Gabungkan 200x dan -400x untuk mendapatkan -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Tolak 10000 daripada kedua-dua belah.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Tolak 10000 daripada 20000 untuk mendapatkan 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Susun semula polinomial untuk meletakkannya dalam bentuk piawai. Letakkan terma mengikut tertib daripada kuasa tertinggi hingga terendah.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -3x^{2}+ax+bx+10000. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -200.

$$a=100 b=-300$$

Tulis semula -3x^{2}-200x+10000 sebagai \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Faktorkan -x dalam kumpulan pertama dan -100 dalam kumpulan kedua.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Faktorkan sebutan lazim 3x-100 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan 3x-100=0 dan -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Kira 100 dikuasakan 2 dan dapatkan 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Tambahkan 10000 dan 10000 untuk dapatkan 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Tolak 4x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Gabungkan x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Tolak 400x daripada kedua-dua belah.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Gabungkan 200x dan -400x untuk mendapatkan -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Tolak 10000 daripada kedua-dua belah.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Tolak 10000 daripada 20000 untuk mendapatkan 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -3 dengan a, -200 dengan b dan 10000 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Kuasa dua -200.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan -4 kali -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 12 kali 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Tambahkan 40000 pada 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Nombor bertentangan -200 ialah 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Darabkan 2 kali -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{200±400}{-6} apabila ± ialah plus. Tambahkan 200 pada 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Bahagikan 600 dengan -6.

$$x=-100$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{200±400}{-6} apabila ± ialah minus. Tolak 400 daripada 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Kurangkan pecahan \frac{-200}{-6} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Kira 100 dikuasakan 2 dan dapatkan 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Tambahkan 10000 dan 10000 untuk dapatkan 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Tolak 4x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Gabungkan x^{2} dan -4x^{2} untuk mendapatkan -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Tolak 400x daripada kedua-dua belah.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Gabungkan 200x dan -400x untuk mendapatkan -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Tolak 20000 daripada kedua-dua belah.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Tolak 20000 daripada 10000 untuk mendapatkan -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Membahagi dengan -3 membuat asal pendaraban dengan -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Bahagikan -200 dengan -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Bahagikan -10000 dengan -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Bahagikan \frac{200}{3} iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{100}{3}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{100}{3} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{100}{3} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Tambahkan \frac{10000}{3} pada \frac{10000}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Tolak \frac{100}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$