Selesaikan (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Nilaikan

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12.92820323$$

Langkah Penyelesaian

Pertimbangkan \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{5} ialah 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Tolak 3 daripada 5 untuk mendapatkan 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Punca kuasa untuk \sqrt{6} ialah 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Faktor 6=2\times 3. Tulis semula punca kuasa dua untuk hasil \sqrt{2\times 3} sebagai hasil punca kuasa \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Darabkan \sqrt{2} dan \sqrt{2} untuk mendapatkan 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Tambahkan 6 dan 2 untuk dapatkan 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 8+4\sqrt{3}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Tolak 8 daripada 2 untuk mendapatkan -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$