Selesaikan (sqrt{18}+sqrt{12})(3sqrt{2}-2sqrt{3})-(sqrt{3}-sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 18 } + \sqrt { 12 } ) ( 3 \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Nilaikan

$$2\sqrt{6}+1\approx 5.898979486$$

Langkah Penyelesaian

Faktor 18=3^{2}\times 2. Tulis semula punca kuasa dua untuk hasil \sqrt{3^{2}\times 2} sebagai hasil punca kuasa \sqrt{3^{2}}\sqrt{2}. Ambil punca kuasa dua 3^{2}.

$$\left(3\sqrt{2}+\sqrt{12}\right)\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Faktor 12=2^{2}\times 3. Tulis semula punca kuasa dua untuk hasil \sqrt{2^{2}\times 3} sebagai hasil punca kuasa \sqrt{2^{2}}\sqrt{3}. Ambil punca kuasa dua 2^{2}.

$$\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Pertimbangkan \left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(3\sqrt{2}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kira 3 dikuasakan 2 dan dapatkan 9.

$$9\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$9\times 2-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Darabkan 9 dan 2 untuk mendapatkan 18.

$$18-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$18-2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$18-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$18-4\times 3-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Darabkan 4 dan 3 untuk mendapatkan 12.

$$18-12-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Tolak 12 daripada 18 untuk mendapatkan 6.

$$6-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$6-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$6-\left(3-2\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Untuk mendarab \sqrt{3} dan \sqrt{2}, darabkan nombor di bawah punca kuasa dua.

$$6-\left(3-2\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$6-\left(3-2\sqrt{6}+2\right)$$

Tambahkan 3 dan 2 untuk dapatkan 5.

$$6-\left(5-2\sqrt{6}\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 5-2\sqrt{6}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$6-5+2\sqrt{6}$$

Tolak 5 daripada 6 untuk mendapatkan 1.

$$1+2\sqrt{6}$$