Selesaikan y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Selesaikan untuk y

$$y=6$$

$$y=9$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Tambahkan 54 pada kedua-dua belah.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan y^{2}-15y+54 menggunakan formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-15 ab=54$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -15.

$$a=-9 b=-6$$

Tulis semula ungkapan \left(y+a\right)\left(y+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-9=0 dan y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Tambahkan 54 pada kedua-dua belah.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai y^{2}+ay+by+54. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -15.

$$a=-9 b=-6$$

Tulis semula y^{2}-15y+54 sebagai \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Faktorkan y dalam kumpulan pertama dan -6 dalam kumpulan kedua.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Faktorkan sebutan lazim y-9 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-9=0 dan y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$y^{2}-15y=-54$$

Tambahkan 54 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Menolak -54 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Tolak -54 daripada 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -15 dengan b dan 54 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Kuasa dua -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Darabkan -4 kali 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Tambahkan 225 pada -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Nombor bertentangan -15 ialah 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{15±3}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 15 pada 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Bahagikan 18 dengan 2.

$$y=9$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{15±3}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 3 daripada 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Bahagikan 12 dengan 2.

$$y=6$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=9 y=6$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Bahagikan -15 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{15}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{15}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{15}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Tambahkan -54 pada \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Permudahkan.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=9 y=6$$