Selesaikan y^2+5y-15000=0

$${ y }^{ 2 } +5y-15000 = 0$$

Selesaikan untuk y

$$y=-125$$

$$y=120$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan y^{2}+5y-15000 menggunakan formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=-15000$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -15000.

$$-1,15000 -2,7500 -3,5000 -4,3750 -5,3000 -6,2500 -8,1875 -10,1500 -12,1250 -15,1000 -20,750 -24,625 -25,600 -30,500 -40,375 -50,300 -60,250 -75,200 -100,150 -120,125$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+15000=14999 -2+7500=7498 -3+5000=4997 -4+3750=3746 -5+3000=2995 -6+2500=2494 -8+1875=1867 -10+1500=1490 -12+1250=1238 -15+1000=985 -20+750=730 -24+625=601 -25+600=575 -30+500=470 -40+375=335 -50+300=250 -60+250=190 -75+200=125 -100+150=50 -120+125=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-120 b=125$$

Tulis semula ungkapan \left(y+a\right)\left(y+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(y-120\right)\left(y+125\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-120=0 dan y+125=0.

$$y=120 y=-125$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai y^{2}+ay+by-15000. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=5 ab=1\left(-15000\right)=-15000$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -15000.

$$-1,15000 -2,7500 -3,5000 -4,3750 -5,3000 -6,2500 -8,1875 -10,1500 -12,1250 -15,1000 -20,750 -24,625 -25,600 -30,500 -40,375 -50,300 -60,250 -75,200 -100,150 -120,125$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+15000=14999 -2+7500=7498 -3+5000=4997 -4+3750=3746 -5+3000=2995 -6+2500=2494 -8+1875=1867 -10+1500=1490 -12+1250=1238 -15+1000=985 -20+750=730 -24+625=601 -25+600=575 -30+500=470 -40+375=335 -50+300=250 -60+250=190 -75+200=125 -100+150=50 -120+125=5$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 5.

$$a=-120 b=125$$

Tulis semula y^{2}+5y-15000 sebagai \left(y^{2}-120y\right)+\left(125y-15000\right).

$$\left(y^{2}-120y\right)+\left(125y-15000\right)$$

Faktorkan y dalam kumpulan pertama dan 125 dalam kumpulan kedua.

$$y\left(y-120\right)+125\left(y-120\right)$$

Faktorkan sebutan lazim y-120 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(y-120\right)\left(y+125\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan y-120=0 dan y+125=0.

$$y=120 y=-125$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$y^{2}+5y-15000=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 5 dengan b dan -15000 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-15000\right)}}{2}$$

Kuasa dua 5.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-15000\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -15000.

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+60000}}{2}$$

Tambahkan 25 pada 60000.

$$y=\frac{-5±\sqrt{60025}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 60025.

$$y=\frac{-5±245}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-5±245}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada 245.

$$y=\frac{240}{2}$$

Bahagikan 240 dengan 2.

$$y=120$$

Sekarang selesaikan persamaan y=\frac{-5±245}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 245 daripada -5.

$$y=-\frac{250}{2}$$

Bahagikan -250 dengan 2.

$$y=-125$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$y=120 y=-125$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+5y-15000=0$$

Tambahkan 15000 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y^{2}+5y-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Menolak -15000 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$y^{2}+5y=-\left(-15000\right)$$

Tolak -15000 daripada 0.

$$y^{2}+5y=15000$$

Bahagikan 5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$y^{2}+5y+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=15000+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$y^{2}+5y+\frac{25}{4}=15000+\frac{25}{4}$$

Tambahkan 15000 pada \frac{25}{4}.

$$y^{2}+5y+\frac{25}{4}=\frac{60025}{4}$$

Faktor y^{2}+5y+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{60025}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{60025}{4}}$$

Permudahkan.

$$y+\frac{5}{2}=\frac{245}{2} y+\frac{5}{2}=-\frac{245}{2}$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=120 y=-125$$