Selesaikan x^225+1

$${ x }^{ 225 } +1$$

Faktor

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Langkah Penyelesaian

Tulis semula x^{225}+1 sebagai \left(x^{75}\right)^{3}+1^{3}. Jumlah kiub boleh difaktorkan dengan menggunakan peraturan: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{75}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Pertimbangkan x^{75}+1. Tulis semula x^{75}+1 sebagai \left(x^{25}\right)^{3}+1^{3}. Jumlah kiub boleh difaktorkan dengan menggunakan peraturan: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(x^{25}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)$$

Pertimbangkan x^{25}+1. Cari satu faktor dalam bentuk x^{k}+m, apabila x^{k} membahagikan monomial dengan kuasa tertinggi x^{25} dan m membahagikan faktor pemalar 1. Salah satu faktor adalah x^{5}+1. Faktorkan polinomial dengan membahagikannya dengan faktor ini.

$$\left(x^{5}+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)$$

Pertimbangkan x^{5}+1. Dengan Teorem Punca Nisbah, semua punca nisbah polinomial adalah dalam bentuk \frac{p}{q}, apabila p membahagikan sebutan malar 1 dan q membahagikan pekali pelopor 1. Salah satu punca adalah -1. Faktorkan polinomial dengan membahagikannya dengan x+1.

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

Tulis semula ungkapan difaktorkan yang lengkap. Polinomial berikut tidak difaktorkan kerana mereka tidak mempunyai sebarang punca rasional: x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1,x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1,x^{50}-x^{25}+1,x^{150}-x^{75}+1.

$$\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{20}-x^{15}+x^{10}-x^{5}+1\right)\left(x^{50}-x^{25}+1\right)\left(x^{150}-x^{75}+1\right)$$

Nilaikan

$$x^{225}+1$$