Selesaikan x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -1 untuk b dan -1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Untuk hasil itu menjadi positif, kedua-dua x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} dan x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} perlulah negatif atau positif. Pertimbangkan kes apabila kedua-dua x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} dan x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} adalah negatif.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Pertimbangkan kes apabila kedua-dua x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} dan x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} adalah positif.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$