Selesaikan x^2-x+1=0

$${ x }^{ 2 } -x+1 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0.5-0.866025404i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -1 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2}$$

Tambahkan 1 pada -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{3} daripada 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}-x+1-1=-1$$

Menolak 1 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}-x=-1$$

Bahagikan -1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Tambahkan -1 pada \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$