Selesaikan x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -6 dengan b dan 11 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Kuasa dua -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Darabkan -4 kali 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Tambahkan 36 pada -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Nombor bertentangan -6 ialah 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 6 pada 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Bahagikan 6+2i\sqrt{2} dengan 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 2i\sqrt{2} daripada 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Bahagikan 6-2i\sqrt{2} dengan 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Menolak 11 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Bahagikan -6 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -3. Kemudian tambahkan kuasa dua -3 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Kuasa dua -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Tambahkan -11 pada 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Faktor x^{2}-6x+9. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Permudahkan.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$