Selesaikan x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Selesaikan untuk x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, faktorkan yang di sebelah kiri. Polinomial kuadratik boleh difaktorkan dengan menggunakan transformasi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), apabila x_{1} dan x_{2} merupakan penyelesaian persamaan kuadratik ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 1 untuk a, -3 untuk b dan 1 untuk c dalam formula kuadratik.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Lakukan pengiraan.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Selesaikan persamaan x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Tulis semula ketidaksamaan tersebut dengan menggunakan penyelesaian diperolehi.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Untuk hasil itu menjadi negatif, x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} dan x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} perlulah mempunyai tanda yang bertentangan. Pertimbangkan kes apabila x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} adalah positif dan x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} adalah negatif.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Ini adalah palsu untuk sebarang x.

$$x\in \emptyset$$

Pertimbangkan kes apabila x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} adalah positif dan x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} adalah negatif.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Penyelesaian yang memuaskan kedua-dua ketidaksamaan adalah x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Penyelesaian terakhir adalah kesatuan penyelesaian yang diperolehi.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$