Selesaikan x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=8$$

$$x=13$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}-21x+104 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-21 ab=104$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -21.

$$a=-13 b=-8$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-13=0 dan x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx+104. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -21.

$$a=-13 b=-8$$

Tulis semula x^{2}-21x+104 sebagai \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan -8 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-13 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-13=0 dan x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -21 dengan b dan 104 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Kuasa dua -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Darabkan -4 kali 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Tambahkan 441 pada -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Nombor bertentangan -21 ialah 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{21±5}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 21 pada 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Bahagikan 26 dengan 2.

$$x=13$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{21±5}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 5 daripada 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Bahagikan 16 dengan 2.

$$x=8$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=13 x=8$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Tolak 104 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Menolak 104 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Bahagikan -21 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{21}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{21}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{21}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Tambahkan -104 pada \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{21}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=13 x=8$$