Selesaikan x^2-13x+54=0

$${ x }^{ 2 } -13x+54=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{13+\sqrt{47}i}{2}\approx 6.5+3.4278273i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+13}{2}\approx 6.5-3.4278273i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-13x+54=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -13 dengan b dan 54 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Kuasa dua -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 54}}{2}$$

Darabkan -4 kali 54.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-216}}{2}$$

Tambahkan 169 pada -216.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-47}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua -47.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{47}i}{2}$$

Nombor bertentangan -13 ialah 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{47}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{13±\sqrt{47}i}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 13 pada i\sqrt{47}.

$$x=\frac{13+\sqrt{47}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{13±\sqrt{47}i}{2} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{47} daripada 13.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+13}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{13+\sqrt{47}i}{2} x=\frac{-\sqrt{47}i+13}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+54=0$$

Tolak 54 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}-13x+54-54=-54$$

Menolak 54 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}-13x=-54$$

Bahagikan -13 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan -\frac{13}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua -\frac{13}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan -\frac{13}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-54+\frac{169}{4}$$

Tambahkan -54 pada \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-\frac{47}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{4}}$$

Permudahkan.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{47}i}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{47}i}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{13+\sqrt{47}i}{2} x=\frac{-\sqrt{47}i+13}{2}$$