Selesaikan x^2+x+3=0

$${ x }^{ 2 } +x+3=0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0.5+1.658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0.5-1.658312395i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+x+3=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 1 dengan b dan 3 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kuasa dua 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3}}{2}$$

Darabkan -4 kali 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12}}{2}$$

Tambahkan 1 pada -12.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-11}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\sqrt{11}i}{2} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{11} daripada -1.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+x+3-3=-3$$

Menolak 3 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+x=-3$$

Bahagikan 1 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{1}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{1}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{1}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Tambahkan -3 pada \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$