Selesaikan x^2+5x+7=0

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2.5+0.866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2.5-0.866025404i$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 5 dengan b dan 7 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

Kuasa dua 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Darabkan -4 kali 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Tambahkan 25 pada -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -5 pada i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{3} daripada -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Menolak 7 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

Bahagikan 5 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{5}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{5}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{5}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Tambahkan -7 pada \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$