Selesaikan x^2+3x-40=0

$${ x }^{ 2 } +3x-40=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-8$$

$$x=5$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+3x-40 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=-40$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-5 b=8$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-5\right)\left(x+8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan x+8=0.

$$x=5 x=-8$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-40. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=1\left(-40\right)=-40$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-5 b=8$$

Tulis semula x^{2}+3x-40 sebagai \left(x^{2}-5x\right)+\left(8x-40\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(8x-40\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 8 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-5\right)+8\left(x-5\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-5 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-5\right)\left(x+8\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan x+8=0.

$$x=5 x=-8$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+3x-40=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 3 dengan b dan -40 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-40\right)}}{2}$$

Kuasa dua 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-40\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2}$$

Tambahkan 9 pada 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 169.

$$x=\frac{-3±13}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±13}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada 13.

$$x=\frac{10}{2}$$

Bahagikan 10 dengan 2.

$$x=5$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±13}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 13 daripada -3.

$$x=-\frac{16}{2}$$

Bahagikan -16 dengan 2.

$$x=-8$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=5 x=-8$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-40=0$$

Tambahkan 40 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+3x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Menolak -40 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-40\right)$$

Tolak -40 daripada 0.

$$x^{2}+3x=40$$

Bahagikan 3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=40+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=40+\frac{9}{4}$$

Tambahkan 40 pada \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{13}{2}$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5 x=-8$$