Selesaikan x^2+20x-2400=0

$${ x }^{ 2 } +20x-2400=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-60$$

$$x=40$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+20x-2400 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=20 ab=-2400$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -2400.

$$-1,2400 -2,1200 -3,800 -4,600 -5,480 -6,400 -8,300 -10,240 -12,200 -15,160 -16,150 -20,120 -24,100 -25,96 -30,80 -32,75 -40,60 -48,50$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+2400=2399 -2+1200=1198 -3+800=797 -4+600=596 -5+480=475 -6+400=394 -8+300=292 -10+240=230 -12+200=188 -15+160=145 -16+150=134 -20+120=100 -24+100=76 -25+96=71 -30+80=50 -32+75=43 -40+60=20 -48+50=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 20.

$$a=-40 b=60$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-40\right)\left(x+60\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-40=0 dan x+60=0.

$$x=40 x=-60$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-2400. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=20 ab=1\left(-2400\right)=-2400$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -2400.

$$-1,2400 -2,1200 -3,800 -4,600 -5,480 -6,400 -8,300 -10,240 -12,200 -15,160 -16,150 -20,120 -24,100 -25,96 -30,80 -32,75 -40,60 -48,50$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+2400=2399 -2+1200=1198 -3+800=797 -4+600=596 -5+480=475 -6+400=394 -8+300=292 -10+240=230 -12+200=188 -15+160=145 -16+150=134 -20+120=100 -24+100=76 -25+96=71 -30+80=50 -32+75=43 -40+60=20 -48+50=2$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 20.

$$a=-40 b=60$$

Tulis semula x^{2}+20x-2400 sebagai \left(x^{2}-40x\right)+\left(60x-2400\right).

$$\left(x^{2}-40x\right)+\left(60x-2400\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 60 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-40\right)+60\left(x-40\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-40 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-40\right)\left(x+60\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-40=0 dan x+60=0.

$$x=40 x=-60$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+20x-2400=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 20 dengan b dan -2400 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2400\right)}}{2}$$

Kuasa dua 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2400\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -2400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+9600}}{2}$$

Tambahkan 400 pada 9600.

$$x=\frac{-20±\sqrt{10000}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 10000.

$$x=\frac{-20±100}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-20±100}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -20 pada 100.

$$x=\frac{80}{2}$$

Bahagikan 80 dengan 2.

$$x=40$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-20±100}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 100 daripada -20.

$$x=-\frac{120}{2}$$

Bahagikan -120 dengan 2.

$$x=-60$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=40 x=-60$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+20x-2400=0$$

Tambahkan 2400 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+20x-2400-\left(-2400\right)=-\left(-2400\right)$$

Menolak -2400 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+20x=-\left(-2400\right)$$

Tolak -2400 daripada 0.

$$x^{2}+20x=2400$$

Bahagikan 20 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 10. Kemudian tambahkan kuasa dua 10 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+20x+10^{2}=2400+10^{2}$$

Kuasa dua 10.

$$x^{2}+20x+100=2400+100$$

Tambahkan 2400 pada 100.

$$x^{2}+20x+100=2500$$

Faktor x^{2}+20x+100. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+10\right)^{2}=2500$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+10\right)^{2}}=\sqrt{2500}$$

Permudahkan.

$$x+10=50 x+10=-50$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=40 x=-60$$