Selesaikan x^2+14x-2352=0

$${ x }^{ 2 } +14x-2352=0$$

Selesaikan untuk x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}+14x-2352 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=14 ab=-2352$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 14.

$$a=-42 b=56$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-42=0 dan x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-2352. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=14 ab=1\left(-2352\right)=-2352$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 14.

$$a=-42 b=56$$

Tulis semula x^{2}+14x-2352 sebagai \left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right).

$$\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 56 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-42\right)+56\left(x-42\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-42 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-42=0 dan x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, 14 dengan b dan -2352 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Kuasa dua 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -2352.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+9408}}{2}$$

Tambahkan 196 pada 9408.

$$x=\frac{-14±\sqrt{9604}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 9604.

$$x=\frac{-14±98}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±98}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -14 pada 98.

$$x=\frac{84}{2}$$

Bahagikan 84 dengan 2.

$$x=42$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-14±98}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 98 daripada -14.

$$x=-\frac{112}{2}$$

Bahagikan -112 dengan 2.

$$x=-56$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=42 x=-56$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Persamaan kuadratik seperti ini boleh diselesaikan dengan melengkapkan kuasa dua. Untuk melengkapkan kuasa dua, persamaan mestilah pada mulanya dalam bentuk x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Tambahkan 2352 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+14x-2352-\left(-2352\right)=-\left(-2352\right)$$

Menolak -2352 daripada dirinya sendiri menjadikannya 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-2352\right)$$

Tolak -2352 daripada 0.

$$x^{2}+14x=2352$$

Bahagikan 14 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan 7. Kemudian tambahkan kuasa dua 7 pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Kuasa dua 7.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Tambahkan 2352 pada 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Faktor x^{2}+14x+49. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Permudahkan.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=42 x=-56$$