Selesaikan left(x+3right)^2+x^2=317

$${ \left(x+3 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } =317$$

Selesaikan untuk x

$$x=-14$$

$$x=11$$

Langkah Menggunakan Pemfaktoran Mengikut Perkumpulan

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Tolak 317 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Tolak 317 daripada 9 untuk mendapatkan -308.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x^{2}+3x-154=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai x^{2}+ax+bx-154. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=3 ab=1\left(-154\right)=-154$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah positif, nombor positif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -154.

$$-1,154 -2,77 -7,22 -11,14$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1+154=153 -2+77=75 -7+22=15 -11+14=3$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 3.

$$a=-11 b=14$$

Tulis semula x^{2}+3x-154 sebagai \left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 14 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(x-11\right)+14\left(x-11\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-11 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-11\right)\left(x+14\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-11=0 dan x+14=0.

$$x=11 x=-14$$

Langkah Menggunakan Formula Kuadratik

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Tolak 317 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Tolak 317 daripada 9 untuk mendapatkan -308.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 2 dengan a, 6 dengan b dan -308 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Kuasa dua 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -4 kali 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Darabkan -8 kali -308.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+2464}}{2\times 2}$$

Tambahkan 36 pada 2464.

$$x=\frac{-6±\sqrt{2500}}{2\times 2}$$

Ambil punca kuasa dua 2500.

$$x=\frac{-6±50}{2\times 2}$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=\frac{-6±50}{4}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±50}{4} apabila ± ialah plus. Tambahkan -6 pada 50.

$$x=\frac{44}{4}$$

Bahagikan 44 dengan 4.

$$x=11$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-6±50}{4} apabila ± ialah minus. Tolak 50 daripada -6.

$$x=-\frac{56}{4}$$

Bahagikan -56 dengan 4.

$$x=-14$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=11 x=-14$$

Langkah untuk Melengkapkan Kuasa Dua

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$2x^{2}+6x=317-9$$

Tolak 9 daripada 317 untuk mendapatkan 308.

$$2x^{2}+6x=308$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{308}{2}$$

Membahagi dengan 2 membuat asal pendaraban dengan 2.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{308}{2}$$

Bahagikan 6 dengan 2.

$$x^{2}+3x=\frac{308}{2}$$

Bahagikan 308 dengan 2.

$$x^{2}+3x=154$$

Bahagikan 3 iaitu pekali bagi sebutan x dengan 2 untuk mendapatkan \frac{3}{2}. Kemudian tambahkan kuasa dua \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan. Langkah ini menjadikan sebelah kiri persamaan kuasa dua sempurna.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=154+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kuasa duakan \frac{3}{2} dengan kuasa duakan kedua-dua pengangka dan penyebut pecahan.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=154+\frac{9}{4}$$

Tambahkan 154 pada \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{625}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Umumnya, apabila x^{2}+bx+c adalah kuasa dua sempurna, ia sentiasa boleh difaktorkan sebagai \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Ambil punca kuasa dua kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Permudahkan.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{25}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{25}{2}$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=11 x=-14$$