Selesaikan {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Nilaikan

$$4\sqrt{3}+7\approx 13.92820323$$

Langkah Penyelesaian

Nisbahkan penyebut \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Pertimbangkan \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kuasa dua \sqrt{3}. Kuasa dua 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Tolak 1 daripada 3 untuk mendapatkan 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Darabkan \sqrt{3}+1 dan \sqrt{3}+1 untuk mendapatkan \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Bahagikan setiap sebutan 4+2\sqrt{3} dengan 2 untuk mendapatkan 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Tambahkan 4 dan 3 untuk dapatkan 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Kembangkan

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13.92820323$$

Langkah Penyelesaian

Nisbahkan penyebut \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} dengan mendarabkan pembilang dan penyebut dengan \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Pertimbangkan \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Pendaraban boleh diubah menjadi perbezaan kuasa dua dengan menggunakan peraturan: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Kuasa dua \sqrt{3}. Kuasa dua 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Tolak 1 daripada 3 untuk mendapatkan 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Darabkan \sqrt{3}+1 dan \sqrt{3}+1 untuk mendapatkan \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Bahagikan setiap sebutan 4+2\sqrt{3} dengan 2 untuk mendapatkan 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{3} ialah 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Tambahkan 4 dan 3 untuk dapatkan 7.

$$7+4\sqrt{3}$$