Selesaikan sqrt{x}-x=1

$$\sqrt{ x } -x=1$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

Langkah Penyelesaian

Tolak -x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{x}=1+x$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(1+x\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x} dikuasakan 2 dan dapatkan x.

$$x=\left(1+x\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+x\right)^{2}.

$$x=1+2x+x^{2}$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$x-1=2x+x^{2}$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$x-1-2x=x^{2}$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x-1=x^{2}$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-x-1-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, -1 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 1 pada -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Bahagikan 1+i\sqrt{3} dengan -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{3} daripada 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Bahagikan 1-i\sqrt{3} dengan -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Gantikan \frac{-\sqrt{3}i-1}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x}-x=1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}}-\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}=1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} tidak memuaskan persamaan.

$$i\times 3^{\frac{1}{2}}=1$$

Gantikan \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x}-x=1.

$$\sqrt{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}-\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} memuaskan persamaan.

$$1=1$$

\sqrt{x}=x+1 persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$