Selesaikan sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x} dikuasakan 2 dan dapatkan x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Gabungkan x dan 2x untuk mendapatkan 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 3 dengan b dan -1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 9 pada -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -3 pada \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Bahagikan -3+\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{5} daripada -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Bahagikan -3-\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Gantikan \frac{3-\sqrt{5}}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} tidak memuaskan persamaan kerana sisi kiri dan kanan mempunyai tanda yang bertentangan.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Gantikan \frac{\sqrt{5}+3}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} memuaskan persamaan.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

\sqrt{x}=x-1 persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$