Selesaikan sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Langkah Penyelesaian

Tolak \sqrt{1+x} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{1-x} dikuasakan 2 dan dapatkan 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{1+x} dikuasakan 2 dan dapatkan 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Tambahkan 2 dan 1 untuk dapatkan 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Tolak 3+x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 3+x, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Tolak 3 daripada 1 untuk mendapatkan -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Gabungkan -x dan -x untuk mendapatkan -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kira -2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Punca kuasa untuk \sqrt{2} ialah 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Darabkan 4 dan 2 untuk mendapatkan 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{1+x} dikuasakan 2 dan dapatkan 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 8 dengan 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Tolak 8 daripada 4 untuk mendapatkan -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Gabungkan 8x dan -8x untuk mendapatkan 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Pertimbangkan -1+x^{2}. Tulis semula -1+x^{2} sebagai x^{2}-1^{2}. Perbezaannya segi empat boleh difaktorkan dengan menggunakan peraturan: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-1=0 dan x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Gantikan 1 dengan x dalam persamaan \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Permudahkan. Nilai x=1 memuaskan persamaan.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Gantikan -1 dengan x dalam persamaan \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Permudahkan. Nilai x=-1 memuaskan persamaan.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Senaraikan semua penyelesaian \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$