Selesaikan sqrt{x^2+4}+sqrt{left(12-xright)^2+9}=13

$$\sqrt{ { x }^{ 2 } +4 } + \sqrt{ { \left(12-x \right) }^{ 2 } +9 } =13$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Langkah Penyelesaian

Tolak \sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(12-x\right)^{2}.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{144-24x+x^{2}+9}$$

Tambahkan 144 dan 9 untuk dapatkan 153.

$$\sqrt{x^{2}+4}=13-\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x^{2}+4}\right)^{2}=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}+4} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}+4.

$$x^{2}+4=\left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(13-\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}.

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{153-24x+x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 153-24x+x^{2}.

$$x^{2}+4=169-26\sqrt{153-24x+x^{2}}+153-24x+x^{2}$$

Tambahkan 169 dan 153 untuk dapatkan 322.

$$x^{2}+4=322-26\sqrt{153-24x+x^{2}}-24x+x^{2}$$

Tolak 322-24x+x^{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x^{2}+4-\left(322-24x+x^{2}\right)=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 322-24x+x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x^{2}+4-322+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Tolak 322 daripada 4 untuk mendapatkan -318.

$$x^{2}-318+24x-x^{2}=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$-318+24x=-26\sqrt{153-24x+x^{2}}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-318+24x\right)^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-318+24x\right)^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(-26\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=\left(-26\right)^{2}\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira -26 dikuasakan 2 dan dapatkan 676.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(\sqrt{153-24x+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{153-24x+x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=676\left(153-24x+x^{2}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 676 dengan 153-24x+x^{2}.

$$101124-15264x+576x^{2}=103428-16224x+676x^{2}$$

Tolak 103428 daripada kedua-dua belah.

$$101124-15264x+576x^{2}-103428=-16224x+676x^{2}$$

Tolak 103428 daripada 101124 untuk mendapatkan -2304.

$$-2304-15264x+576x^{2}=-16224x+676x^{2}$$

Tambahkan 16224x pada kedua-dua belah.

$$-2304-15264x+576x^{2}+16224x=676x^{2}$$

Gabungkan -15264x dan 16224x untuk mendapatkan 960x.

$$-2304+960x+576x^{2}=676x^{2}$$

Tolak 676x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-2304+960x+576x^{2}-676x^{2}=0$$

Gabungkan 576x^{2} dan -676x^{2} untuk mendapatkan -100x^{2}.

$$-2304+960x-100x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-100x^{2}+960x-2304=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -100 dengan a, 960 dengan b dan -2304 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-960±\sqrt{960^{2}-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Kuasa dua 960.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-4\left(-100\right)\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Darabkan -4 kali -100.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600+400\left(-2304\right)}}{2\left(-100\right)}$$

Darabkan 400 kali -2304.

$$x=\frac{-960±\sqrt{921600-921600}}{2\left(-100\right)}$$

Tambahkan 921600 pada -921600.

$$x=\frac{-960±\sqrt{0}}{2\left(-100\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 0.

$$x=-\frac{960}{2\left(-100\right)}$$

Darabkan 2 kali -100.

$$x=-\frac{960}{-200}$$

Kurangkan pecahan \frac{-960}{-200} kepada sebutan terendah dengan mengeluarkan dan membatalkan 40.

$$x=\frac{24}{5}$$

Gantikan \frac{24}{5} dengan x dalam persamaan \sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{\left(12-x\right)^{2}+9}=13.

$$\sqrt{\left(\frac{24}{5}\right)^{2}+4}+\sqrt{\left(12-\frac{24}{5}\right)^{2}+9}=13$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{24}{5} memuaskan persamaan.

$$13=13$$

\sqrt{x^{2}+4}=-\sqrt{x^{2}-24x+153}+13 persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{24}{5}$$