Selesaikan sqrt{x-9}=x-3

$$\sqrt { x - 9 } = x - 3$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{23}i}{2}\approx 3.5+2.397915762i$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x-9}\right)^{2}=\left(x-3\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-9} dikuasakan 2 dan dapatkan x-9.

$$x-9=\left(x-3\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-3\right)^{2}.

$$x-9=x^{2}-6x+9$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x-9-x^{2}=-6x+9$$

Tambahkan 6x pada kedua-dua belah.

$$x-9-x^{2}+6x=9$$

Gabungkan x dan 6x untuk mendapatkan 7x.

$$7x-9-x^{2}=9$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah.

$$7x-9-x^{2}-9=0$$

Tolak 9 daripada -9 untuk mendapatkan -18.

$$7x-18-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+7x-18=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 7 dengan b dan -18 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-18\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 4 kali -18.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-72}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 49 pada -72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-23}}{2\left(-1\right)}$$

Ambil punca kuasa dua -23.

$$x=\frac{-7±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{23}i}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±\sqrt{23}i}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -7 pada i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{23}i}{-2}$$

Bahagikan -7+i\sqrt{23} dengan -2.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+7}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-7±\sqrt{23}i}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak i\sqrt{23} daripada -7.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-7}{-2}$$

Bahagikan -7-i\sqrt{23} dengan -2.

$$x=\frac{7+\sqrt{23}i}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+7}{2} x=\frac{7+\sqrt{23}i}{2}$$

Gantikan \frac{-\sqrt{23}i+7}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x-9}=x-3.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{23}i+7}{2}-9}=\frac{-\sqrt{23}i+7}{2}-3$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{-\sqrt{23}i+7}{2} tidak memuaskan persamaan.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{7+\sqrt{23}i}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x-9}=x-3.

$$\sqrt{\frac{7+\sqrt{23}i}{2}-9}=\frac{7+\sqrt{23}i}{2}-3$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{7+\sqrt{23}i}{2} memuaskan persamaan.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 23^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x-9}=x-3 persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{7+\sqrt{23}i}{2}$$