Selesaikan sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}-1} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2x+1} dikuasakan 2 dan dapatkan 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Tolak 1 daripada -1 untuk mendapatkan -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -2 dengan b dan -2 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Tambahkan 4 pada 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Bahagikan 2+2\sqrt{3} dengan 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{3} daripada 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Bahagikan 2-2\sqrt{3} dengan 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Gantikan \sqrt{3}+1 dengan x dalam persamaan \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Permudahkan. Nilai x=\sqrt{3}+1 memuaskan persamaan.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Gantikan 1-\sqrt{3} dengan x dalam persamaan \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Permudahkan. Nilai x=1-\sqrt{3} memuaskan persamaan.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Senaraikan semua penyelesaian \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Selesaikan untuk x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}-1} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2x+1} dikuasakan 2 dan dapatkan 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Tolak 1 daripada -1 untuk mendapatkan -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -2 dengan b dan -2 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Kuasa dua -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Darabkan -4 kali -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Tambahkan 4 pada 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 2 pada 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Bahagikan 2+2\sqrt{3} dengan 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 2\sqrt{3} daripada 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Bahagikan 2-2\sqrt{3} dengan 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Gantikan \sqrt{3}+1 dengan x dalam persamaan \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Permudahkan. Nilai x=\sqrt{3}+1 memuaskan persamaan.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Gantikan 1-\sqrt{3} dengan x dalam persamaan \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Ungkapan \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} adalah tidak ditakrif kerana radicand tidak boleh negatif.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\sqrt{3}+1$$