Selesaikan sqrt{x+7}+sqrt{x+2}=sqrt{18x}

$$\sqrt { x + 7 } + \sqrt { x + 2 } = \sqrt { 18 x }$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{554} + 27}{42} \approx 1.203266776$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+7} dikuasakan 2 dan dapatkan x+7.

$$x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+2} dikuasakan 2 dan dapatkan x+2.

$$x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+x+2=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Gabungkan x dan x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+7+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}+2=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Tambahkan 7 dan 2 untuk dapatkan 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=\left(\sqrt{18x}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{18x} dikuasakan 2 dan dapatkan 18x.

$$2x+9+2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x$$

Tolak 2x+9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x-\left(2x+9\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 2x+9, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=18x-2x-9$$

Gabungkan 18x dan -2x untuk mendapatkan 16x.

$$2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}=16x-9$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Kembangkan \left(2\sqrt{x+7}\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+7} dikuasakan 2 dan dapatkan x+7.

$$4\left(x+7\right)\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(16x-9\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+2} dikuasakan 2 dan dapatkan x+2.

$$4\left(x+7\right)\left(x+2\right)=\left(16x-9\right)^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x+7.

$$\left(4x+28\right)\left(x+2\right)=\left(16x-9\right)^{2}$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan 4x+28 dengan setiap sebutan x+2.

$$4x^{2}+8x+28x+56=\left(16x-9\right)^{2}$$

Gabungkan 8x dan 28x untuk mendapatkan 36x.

$$4x^{2}+36x+56=\left(16x-9\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(16x-9\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+56=256x^{2}-288x+81$$

Tolak 256x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+36x+56-256x^{2}=-288x+81$$

Gabungkan 4x^{2} dan -256x^{2} untuk mendapatkan -252x^{2}.

$$-252x^{2}+36x+56=-288x+81$$

Tambahkan 288x pada kedua-dua belah.

$$-252x^{2}+36x+56+288x=81$$

Gabungkan 36x dan 288x untuk mendapatkan 324x.

$$-252x^{2}+324x+56=81$$

Tolak 81 daripada kedua-dua belah.

$$-252x^{2}+324x+56-81=0$$

Tolak 81 daripada 56 untuk mendapatkan -25.

$$-252x^{2}+324x-25=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -252 dengan a, 324 dengan b dan -25 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-324±\sqrt{324^{2}-4\left(-252\right)\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Kuasa dua 324.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976-4\left(-252\right)\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Darabkan -4 kali -252.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976+1008\left(-25\right)}}{2\left(-252\right)}$$

Darabkan 1008 kali -25.

$$x=\frac{-324±\sqrt{104976-25200}}{2\left(-252\right)}$$

Tambahkan 104976 pada -25200.

$$x=\frac{-324±\sqrt{79776}}{2\left(-252\right)}$$

Ambil punca kuasa dua 79776.

$$x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{2\left(-252\right)}$$

Darabkan 2 kali -252.

$$x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504} apabila ± ialah plus. Tambahkan -324 pada 12\sqrt{554}.

$$x=\frac{12\sqrt{554}-324}{-504}$$

Bahagikan -324+12\sqrt{554} dengan -504.

$$x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-324±12\sqrt{554}}{-504} apabila ± ialah minus. Tolak 12\sqrt{554} daripada -324.

$$x=\frac{-12\sqrt{554}-324}{-504}$$

Bahagikan -324-12\sqrt{554} dengan -504.

$$x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$

Gantikan -\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} dengan x dalam persamaan \sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{18x}.

$$\sqrt{-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+7}+\sqrt{-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+2}=\sqrt{18\left(-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}\right)}$$

Permudahkan. Nilai x=-\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} tidak memuaskan persamaan.

$$\left(-\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{107}{14}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(-\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{37}{14}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{3}{7}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{81}{7}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Gantikan \frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} dengan x dalam persamaan \sqrt{x+7}+\sqrt{x+2}=\sqrt{18x}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+7}+\sqrt{\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}+2}=\sqrt{18\left(\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}\right)}$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14} memuaskan persamaan.

$$\left(\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{107}{14}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{1}{42}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{37}{14}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{3}{7}\times 554^{\frac{1}{2}}+\frac{81}{7}\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=\sqrt{18x} persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{\sqrt{554}}{42}+\frac{9}{14}$$