Selesaikan sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=-2$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+3} dikuasakan 2 dan dapatkan x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+6} dikuasakan 2 dan dapatkan x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Gabungkan x dan x untuk mendapatkan 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Tambahkan 3 dan 6 untuk dapatkan 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+11} dikuasakan 2 dan dapatkan x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Tolak 2x+9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 2x+9, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Tolak 9 daripada 11 untuk mendapatkan 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kembangkan \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+3} dikuasakan 2 dan dapatkan x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+6} dikuasakan 2 dan dapatkan x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan 4x+12 dengan setiap sebutan x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Gabungkan 24x dan 12x untuk mendapatkan 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Gabungkan 4x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Gabungkan 36x dan 4x untuk mendapatkan 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Tolak 4 daripada 72 untuk mendapatkan 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 3x^{2}+ax+bx+68. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah positif, a dan b kedua-duanya positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah 40.

$$a=6 b=34$$

Tulis semula 3x^{2}+40x+68 sebagai \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Faktorkan 3x dalam kumpulan pertama dan 34 dalam kumpulan kedua.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x+2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x+2=0 dan 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Gantikan -\frac{34}{3} dengan x dalam persamaan \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Ungkapan \sqrt{-\frac{34}{3}+3} adalah tidak ditakrif kerana radicand tidak boleh negatif.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Gantikan -2 dengan x dalam persamaan \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Permudahkan. Nilai x=-2 memuaskan persamaan.

$$3=3$$

\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=-2$$