Selesaikan sqrt{x+2}-2sqrt{x+7}=-4

$$\sqrt { x + 2 } - 2 \sqrt { x + 7 } = - 4$$

Selesaikan untuk x

$$x=2$$

$$x = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9} \approx -1.555555556$$

Langkah Penyelesaian

Tolak -2\sqrt{x+7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{x+2}=-4+2\sqrt{x+7}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(-4+2\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+2} dikuasakan 2 dan dapatkan x+2.

$$x+2=\left(-4+2\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-4+2\sqrt{x+7}\right)^{2}.

$$x+2=16-16\sqrt{x+7}+4\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+7} dikuasakan 2 dan dapatkan x+7.

$$x+2=16-16\sqrt{x+7}+4\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x+7.

$$x+2=16-16\sqrt{x+7}+4x+28$$

Tambahkan 16 dan 28 untuk dapatkan 44.

$$x+2=44-16\sqrt{x+7}+4x$$

Tolak 44+4x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x+2-\left(44+4x\right)=-16\sqrt{x+7}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 44+4x, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x+2-44-4x=-16\sqrt{x+7}$$

Tolak 44 daripada 2 untuk mendapatkan -42.

$$x-42-4x=-16\sqrt{x+7}$$

Gabungkan x dan -4x untuk mendapatkan -3x.

$$-3x-42=-16\sqrt{x+7}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-3x-42\right)^{2}=\left(-16\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-3x-42\right)^{2}.

$$9x^{2}+252x+1764=\left(-16\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(-16\sqrt{x+7}\right)^{2}.

$$9x^{2}+252x+1764=\left(-16\right)^{2}\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Kira -16 dikuasakan 2 dan dapatkan 256.

$$9x^{2}+252x+1764=256\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+7} dikuasakan 2 dan dapatkan x+7.

$$9x^{2}+252x+1764=256\left(x+7\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 256 dengan x+7.

$$9x^{2}+252x+1764=256x+1792$$

Tolak 256x daripada kedua-dua belah.

$$9x^{2}+252x+1764-256x=1792$$

Gabungkan 252x dan -256x untuk mendapatkan -4x.

$$9x^{2}-4x+1764=1792$$

Tolak 1792 daripada kedua-dua belah.

$$9x^{2}-4x+1764-1792=0$$

Tolak 1792 daripada 1764 untuk mendapatkan -28.

$$9x^{2}-4x-28=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 9x^{2}+ax+bx-28. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-4 ab=9\left(-28\right)=-252$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -252.

$$1,-252 2,-126 3,-84 4,-63 6,-42 7,-36 9,-28 12,-21 14,-18$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-252=-251 2-126=-124 3-84=-81 4-63=-59 6-42=-36 7-36=-29 9-28=-19 12-21=-9 14-18=-4$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -4.

$$a=-18 b=14$$

Tulis semula 9x^{2}-4x-28 sebagai \left(9x^{2}-18x\right)+\left(14x-28\right).

$$\left(9x^{2}-18x\right)+\left(14x-28\right)$$

Faktorkan 9x dalam kumpulan pertama dan 14 dalam kumpulan kedua.

$$9x\left(x-2\right)+14\left(x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-2\right)\left(9x+14\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-2=0 dan 9x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{9}$$

Gantikan 2 dengan x dalam persamaan \sqrt{x+2}-2\sqrt{x+7}=-4.

$$\sqrt{2+2}-2\sqrt{2+7}=-4$$

Permudahkan. Nilai x=2 memuaskan persamaan.

$$-4=-4$$

Gantikan -\frac{14}{9} dengan x dalam persamaan \sqrt{x+2}-2\sqrt{x+7}=-4.

$$\sqrt{-\frac{14}{9}+2}-2\sqrt{-\frac{14}{9}+7}=-4$$

Permudahkan. Nilai x=-\frac{14}{9} memuaskan persamaan.

$$-4=-4$$

Senaraikan semua penyelesaian \sqrt{x+2}=2\sqrt{x+7}-4.

$$x=2 x=-\frac{14}{9}$$