Selesaikan sqrt{x+2}=x+1

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+2} dikuasakan 2 dan dapatkan x+2.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+1\right)^{2}.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x+2-x^{2}=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

Tolak 1 daripada 2 untuk mendapatkan 1.

$$-x+1-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}-x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, -1 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Nombor bertentangan -1 ialah 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 1 pada \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

Bahagikan 1+\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{5} daripada 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

Bahagikan 1-\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Gantikan \frac{-\sqrt{5}-1}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} tidak memuaskan persamaan kerana sisi kiri dan kanan mempunyai tanda yang bertentangan.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{\sqrt{5}-1}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} memuaskan persamaan.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

\sqrt{x+2}=x+1 persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$