Selesaikan sqrt{x+2}+sqrt{x-1}=sqrt{2x+5}

$$\sqrt { x + 2 } + \sqrt { x - 1 } = \sqrt { 2 x + 5 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=2$$

Langkah Penyelesaian

Tolak \sqrt{x-1} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{x+2}=\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x+2} dikuasakan 2 dan dapatkan x+2.

$$x+2=\left(\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$x+2=\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2x+5} dikuasakan 2 dan dapatkan 2x+5.

$$x+2=2x+5-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-1} dikuasakan 2 dan dapatkan x-1.

$$x+2=2x+5-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}+x-1$$

Gabungkan 2x dan x untuk mendapatkan 3x.

$$x+2=3x+5-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}-1$$

Tolak 1 daripada 5 untuk mendapatkan 4.

$$x+2=3x+4-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Tolak 3x+4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x+2-\left(3x+4\right)=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 3x+4, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$x+2-3x-4=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Gabungkan x dan -3x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x+2-4=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Tolak 4 daripada 2 untuk mendapatkan -2.

$$-2x-2=-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-2x-2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-2x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+8x+4=\left(-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(-2\sqrt{2x+5}\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}+8x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira -2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4x^{2}+8x+4=4\left(\sqrt{2x+5}\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2x+5} dikuasakan 2 dan dapatkan 2x+5.

$$4x^{2}+8x+4=4\left(2x+5\right)\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-1} dikuasakan 2 dan dapatkan x-1.

$$4x^{2}+8x+4=4\left(2x+5\right)\left(x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x+5.

$$4x^{2}+8x+4=\left(8x+20\right)\left(x-1\right)$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan 8x+20 dengan setiap sebutan x-1.

$$4x^{2}+8x+4=8x^{2}-8x+20x-20$$

Gabungkan -8x dan 20x untuk mendapatkan 12x.

$$4x^{2}+8x+4=8x^{2}+12x-20$$

Tolak 8x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$4x^{2}+8x+4-8x^{2}=12x-20$$

Gabungkan 4x^{2} dan -8x^{2} untuk mendapatkan -4x^{2}.

$$-4x^{2}+8x+4=12x-20$$

Tolak 12x daripada kedua-dua belah.

$$-4x^{2}+8x+4-12x=-20$$

Gabungkan 8x dan -12x untuk mendapatkan -4x.

$$-4x^{2}-4x+4=-20$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah.

$$-4x^{2}-4x+4+20=0$$

Tambahkan 4 dan 20 untuk dapatkan 24.

$$-4x^{2}-4x+24=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai -x^{2}+ax+bx+6. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Oleh kerana ab adalah negatif, a dan b mempunyai tanda yang bertentangan. Oleh kerana a+b adalah negatif, nombor negatif mempunyai nilai mutlak yang lebih besar daripada positif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil -6.

$$1,-6 2,-3$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -1.

$$a=2 b=-3$$

Tulis semula -x^{2}-x+6 sebagai \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Faktorkan x dalam kumpulan pertama dan 3 dalam kumpulan kedua.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim -x+2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan -x+2=0 dan x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Gantikan -3 dengan x dalam persamaan \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+5}. Ungkapan \sqrt{-3+2} adalah tidak ditakrif kerana radicand tidak boleh negatif.

$$\sqrt{-3+2}+\sqrt{-3-1}=\sqrt{2\left(-3\right)+5}$$

Gantikan 2 dengan x dalam persamaan \sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2x+5}.

$$\sqrt{2+2}+\sqrt{2-1}=\sqrt{2\times 2+5}$$

Permudahkan. Nilai x=2 memuaskan persamaan.

$$3=3$$

\sqrt{x+2}=\sqrt{2x+5}-\sqrt{x-1} persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=2$$