Selesaikan sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=2$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{5x-1} dikuasakan 2 dan dapatkan 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{3x-2} dikuasakan 2 dan dapatkan 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Gabungkan 5x dan 3x untuk mendapatkan 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Tolak 2 daripada -1 untuk mendapatkan -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-1} dikuasakan 2 dan dapatkan x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Tolak 8x-3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 8x-3, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Gabungkan x dan -8x untuk mendapatkan -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Tambahkan -1 dan 3 untuk dapatkan 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kembangkan \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kira -2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kira \sqrt{5x-1} dikuasakan 2 dan dapatkan 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kira \sqrt{3x-2} dikuasakan 2 dan dapatkan 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Gunakan sifat agihan dengan mendarabkan setiap sebutan 20x-4 dengan setiap sebutan 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Gabungkan -40x dan -12x untuk mendapatkan -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Tolak 49x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Gabungkan 60x^{2} dan -49x^{2} untuk mendapatkan 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Tambahkan 28x pada kedua-dua belah.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Gabungkan -52x dan 28x untuk mendapatkan -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Tolak 4 daripada 8 untuk mendapatkan 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan sebelah kiri mengikut perkumpulan. Pertama sekali, sebelah kiri perlu ditulis semula sebagai 11x^{2}+ax+bx+4. Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Senaraikan semua pasangan integer yang memberikan hasil 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Kira jumlah untuk setiap pasangan.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Penyelesaian ialah pasangan yang memberikan jumlah -24.

$$a=-22 b=-2$$

Tulis semula 11x^{2}-24x+4 sebagai \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktorkan 11x dalam kumpulan pertama dan -2 dalam kumpulan kedua.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Faktorkan sebutan lazim x-2 dengan menggunakan sifat kalis agihan.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-2=0 dan 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Gantikan \frac{2}{11} dengan x dalam persamaan \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Ungkapan \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} adalah tidak ditakrif kerana radicand tidak boleh negatif.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Gantikan 2 dengan x dalam persamaan \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Permudahkan. Nilai x=2 memuaskan persamaan.

$$1=1$$

\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=2$$