Selesaikan sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Selesaikan untuk x

$$x=5$$

$$x=1$$

Langkah Penyelesaian

Tolak -\sqrt{2x-1} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{3x+1} dikuasakan 2 dan dapatkan 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2x-1} dikuasakan 2 dan dapatkan 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Tolak 1 daripada 1 untuk mendapatkan 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Gabungkan 3x dan -2x untuk mendapatkan x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Kira 2 dikuasakan 2 dan dapatkan 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2x-1} dikuasakan 2 dan dapatkan 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Gabungkan 2x dan -8x untuk mendapatkan -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Tambahkan 1 dan 4 untuk dapatkan 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Untuk menyelesaikan persamaan, faktorkan x^{2}-6x+5 menggunakan formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Untuk mencari a dan b, sediakan sistem untuk diselesaikan.

$$a+b=-6 ab=5$$

Oleh kerana ab adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang sama. Oleh kerana a+b adalah negatif, a dan b kedua-duanya negatif. Satu-satunya pasangan itu ialah penyelesaian sistem.

$$a=-5 b=-1$$

Tulis semula ungkapan \left(x+a\right)\left(x+b\right) yang difaktorkan dengan menggunakan nilai yang diperolehi.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Untuk mencari penyelesaian persamaan, selesaikan x-5=0 dan x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Gantikan 5 dengan x dalam persamaan \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Permudahkan. Nilai x=5 memuaskan persamaan.

$$1=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam persamaan \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Permudahkan. Nilai x=1 memuaskan persamaan.

$$1=1$$

Senaraikan semua penyelesaian \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$