Selesaikan sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Selesaikan untuk x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Langkah Penyelesaian

Tolak -\sqrt{15+x^{2}} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{25-x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{15+x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Tambahkan 16 dan 15 untuk dapatkan 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Tolak 31+x^{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 31+x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Tolak 31 daripada 25 untuk mendapatkan -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Gabungkan -x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Untuk meningkatkan kuasa kepada kuasa lain, darabkan eksponen. Darab 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira 8 dikuasakan 2 dan dapatkan 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{15+x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 64 dengan 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Tolak 960 daripada kedua-dua belah.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Tolak 960 daripada 36 untuk mendapatkan -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Tolak 64x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Gabungkan 24x^{2} dan -64x^{2} untuk mendapatkan -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Gantikan t dengan x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 4 untuk a, -40 untuk b dan -924 untuk c dalam formula kuadratik.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Lakukan pengiraan.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Selesaikan persamaan t=\frac{40±128}{8} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$t=21 t=-11$$

Oleh kerana x=t^{2}, penyelesaian diperolehi dengan menilai x=±\sqrt{t} untuk setiap t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Gantikan -\sqrt{21} dengan x dalam persamaan \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Permudahkan. Nilai x=-\sqrt{21} tidak memuaskan persamaan kerana sisi kiri dan kanan mempunyai tanda yang bertentangan.

$$-4=4$$

Gantikan \sqrt{21} dengan x dalam persamaan \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Permudahkan. Nilai x=\sqrt{21} tidak memuaskan persamaan kerana sisi kiri dan kanan mempunyai tanda yang bertentangan.

$$-4=4$$

Gantikan -\sqrt{11}i dengan x dalam persamaan \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Permudahkan. Nilai x=-\sqrt{11}i memuaskan persamaan.

$$4=4$$

Gantikan \sqrt{11}i dengan x dalam persamaan \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Permudahkan. Nilai x=\sqrt{11}i memuaskan persamaan.

$$4=4$$

Senaraikan semua penyelesaian \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$