Selesaikan sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3}

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

Selesaikan untuk x

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8.198901107$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2x-9} dikuasakan 2 dan dapatkan 2x-9.

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-3} dikuasakan 2 dan dapatkan x-3.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

Tolak 3 daripada 25 untuk mendapatkan 22.

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

Tolak 22+x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 22+x, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

Tolak 22 daripada -9 untuk mendapatkan -31.

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

Gabungkan 2x dan -x untuk mendapatkan x.

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-31\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira -10 dikuasakan 2 dan dapatkan 100.

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x-3} dikuasakan 2 dan dapatkan x-3.

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 100 dengan x-3.

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

Tolak 100x daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

Gabungkan -62x dan -100x untuk mendapatkan -162x.

$$x^{2}-162x+961=-300$$

Tambahkan 300 pada kedua-dua belah.

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

Tambahkan 961 dan 300 untuk dapatkan 1261.

$$x^{2}-162x+1261=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1 dengan a, -162 dengan b dan 1261 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

Kuasa dua -162.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

Darabkan -4 kali 1261.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

Tambahkan 26244 pada -5044.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

Ambil punca kuasa dua 21200.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

Nombor bertentangan -162 ialah 162.

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} apabila ± ialah plus. Tambahkan 162 pada 20\sqrt{53}.

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

Bahagikan 162+20\sqrt{53} dengan 2.

$$x=10\sqrt{53}+81$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2} apabila ± ialah minus. Tolak 20\sqrt{53} daripada 162.

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

Bahagikan 162-20\sqrt{53} dengan 2.

$$x=81-10\sqrt{53}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

Gantikan 10\sqrt{53}+81 dengan x dalam persamaan \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

Permudahkan. Nilai x=10\sqrt{53}+81 tidak memuaskan persamaan kerana sisi kiri dan kanan mempunyai tanda yang bertentangan.

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

Gantikan 81-10\sqrt{53} dengan x dalam persamaan \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

Permudahkan. Nilai x=81-10\sqrt{53} memuaskan persamaan.

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=81-10\sqrt{53}$$