Selesaikan sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Selesaikan untuk x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Kira \sqrt{2-x} dikuasakan 2 dan dapatkan 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Gabungkan -x dan 2x untuk mendapatkan x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Tolak 1 daripada 2 untuk mendapatkan 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Semua persamaan dalam bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula kuadratik memberi dua penyelesaian, satu apabila ± adalah penambahan dan satu lagi apabila ia adalah penolakan.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan -1 dengan a, 1 dengan b dan 1 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kuasa dua 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan -4 kali -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Tambahkan 1 pada 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Darabkan 2 kali -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah plus. Tambahkan -1 pada \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Bahagikan -1+\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} apabila ± ialah minus. Tolak \sqrt{5} daripada -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Bahagikan -1-\sqrt{5} dengan -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Persamaan kini diselesaikan.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Gantikan \frac{1-\sqrt{5}}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} tidak memuaskan persamaan kerana sisi kiri dan kanan mempunyai tanda yang bertentangan.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Gantikan \frac{\sqrt{5}+1}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} memuaskan persamaan.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

\sqrt{2-x}=x-1 persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$