Selesaikan sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Selesaikan untuk x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Langkah Penyelesaian

Tolak -\sqrt{19-x^{2}} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{15+x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{19-x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Tambahkan 4 dan 19 untuk dapatkan 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Tolak 23-x^{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Untuk mencari yang bertentangan dengan 23-x^{2}, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Tolak 23 daripada 15 untuk mendapatkan -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Gabungkan x^{2} dan x^{2} untuk mendapatkan 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Untuk meningkatkan kuasa kepada kuasa lain, darabkan eksponen. Darab 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Kembangkan \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Kira 4 dikuasakan 2 dan dapatkan 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{19-x^{2}} dikuasakan 2 dan dapatkan 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 16 dengan 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Tolak 304 daripada kedua-dua belah.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Tolak 304 daripada 64 untuk mendapatkan -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Tambahkan 16x^{2} pada kedua-dua belah.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Gabungkan -32x^{2} dan 16x^{2} untuk mendapatkan -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Gantikan t dengan x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Semua persamaan bentuk ax^{2}+bx+c=0 boleh diselesaikan dengan menggunakan formula kuadratik: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Gantikan 4 untuk a, -16 untuk b dan -240 untuk c dalam formula kuadratik.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Lakukan pengiraan.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Selesaikan persamaan t=\frac{16±64}{8} apabila ± adalah tambah dan apabila ± adalah tolak.

$$t=10 t=-6$$

Oleh kerana x=t^{2}, penyelesaian diperolehi dengan menilai x=±\sqrt{t} untuk t positif.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Gantikan \sqrt{10} dengan x dalam persamaan \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Permudahkan. Nilai x=\sqrt{10} memuaskan persamaan.

$$2=2$$

Gantikan -\sqrt{10} dengan x dalam persamaan \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Permudahkan. Nilai x=-\sqrt{10} memuaskan persamaan.

$$2=2$$

Senaraikan semua penyelesaian \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$